Somme des n+1 premières puissances

Propriété
Pour tout entier naturel     `n` non nul et `q`  un réel différent de `1` ,

  \(\boxed{1+q+q^2+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\) . 

Démonstration
Soit  `n`  un entier naturel non nul et `q`  un réel différent de `1` . On note  \(S=1+q+q^2+...+q^n\) . 

Alors  \(\begin{cases} qS=q+q^2+q^3+...+q^{n+1} \\ -S=-1-q-q^2+...-q^n \end{cases}\) , puis en additionnant ces deux termes, on obtient 

\(qS-S=q+q^2+q^3+...+q^{n+1}-1-q-q^2+...-q^n=q^{n+1}-1\) . 

Soit  \((q-1)S=q^{n+1}-1 \Leftrightarrow S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) . 

Remarques

• Lorsque  `q=1` , la somme  \(1+q+q^2+...+q^n\)  vaut  \(n+1\) . 
• La somme  \(1+q+q^2+...+q^n\)  correspond à la somme des  \((n+1)\)  premiers termes d'une suite géométrique de premier terme  \(1\)  et de raison  \(q\) . 

Exemples 

• Pour  `n=100`  et  \(q=2\) , on a :  \(1+2+2^2+...+2^{100}=\dfrac{1-2^{100+1}}{1-2}=\dfrac{1-2^{101}}{-1}=2^{101}-1\) . 
  
• Pour  `n=50` et  \(q=\frac{1}{3}\) , on a :  \(1+\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{50}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{50+1}}{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{51}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{51}\right)\) .